echo es una sentencia de PHP que muestra una o más cadenas (Strings).

Como no es una función no es necesario utilizar paréntesis para pasar parámetros, sino simplemente ponemos: echo $variable;

Veamos algunos ejemplos:

echo "Hola Mundo!";
// esto muestra Hola Mundo! por pantalla.

$variable = "Probando...";
echo $variable;
// esto muestra Probando... por pantalla.

$var1="Estas leyendo ";
$var2="un artículo en phpnight.com";
echo $var1.$var2;
// esto muestra Estas leyendo un artículo en phpnight.com por pantalla

$nombre="José";
$edad=24;
echo "El nombre es ".$nombre." y tiene ".$edad." años";
/* Y este último mostrará El nombre es José y tiene 24 años
Si cambiamos los valores de $nombre y $edad
obtendremos un resultado distinto */

Sería buena idea que probaras estos ejemplos (y otros que tu mismo podrías crear) para sentirte seguro en el manejo de la pseudo-función echo

Recuerda que para hacer pruebas de PHP en tu PC, debes tener instalado un servidor y el PHP, aquí tienes la guía que publicamos hace unos días sobre ¿Cómo instalar Apache, PHP y MySQL en windows?

include() incluye y evalúa el archivo especificado, el código de dicho archivo estará en su totalidad disponible en el archivo desde el que se lo incluyó desde el punto donde es incluido, esto incluye variables, funciones y demas estructuras.

Pongamos un ejemplo:

Código del archivo variables.php

<?php
$nombre = "José";
?>

Código del archivo prueba.php

<?php
echo "Mi nombre es ".$nombre; // Mi nombre es

include 'variables.php';
// desde aquí está disponible la variable $nombre;
echo "Mi nombre es ".$nombre; // Mi nombre es José
?>

require() incluye y evalúa el archivo especificado, el funcionamiento de esta función es exactamente igual a include(), salvo por el manejo de errores.
Mientras include(), al no encontrar el archivo a incluir, produce un Warning (Advertencia); require() produce un Fatal Error (Error Fatal).

Visita la entrada sobre include(), para ver ejemplos.

Las funciones son un conjunto de sentencias o instrucciones, que nos permiten pasarles variables (o parámetros) y recibir un resultado de vuelta.

Todas las funciones se definen con la palabra function delante del nombre de la función, luego parentesis (), que pueden o no contener parámetros dentro, y por último las instrucciones de la función que van entre llaves {}
Pongamos un ejemplo:

function mifuncion(){
instrucciones;
}

De esta forma, cada vez que yo llame a mifuncion() esta procesará las instrucciones que haya indicado dentro y me devolverá un resultado.

Las funciones en general son usadas para resumir procesos que son utilizados muchas veces en nuestros scripts, por lo que es conveniente tenerlos resueltos una sola vez en una función y luego simplemente llamar a dicha función.

Hay dos cosas importantes que debemos saber sobre las funciones, para pasarle datos a una función, esta función debe aceptarlos entre los paréntesis, y para que una función nos devuelva un resultado debemos usar la sentencia return.
Pongamos un ejemplo de una función que acepte dos parámetros, los multiplique entre si y nos devuelva el resultado:

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