include() incluye y evalúa el archivo especificado, el código de dicho archivo estará en su totalidad disponible en el archivo desde el que se lo incluyó desde el punto donde es incluido, esto incluye variables, funciones y demas estructuras.

Pongamos un ejemplo:

Código del archivo variables.php

<?php
$nombre = "José";
?>

Código del archivo prueba.php

<?php
echo "Mi nombre es ".$nombre; // Mi nombre es

include 'variables.php';
// desde aquí está disponible la variable $nombre;
echo "Mi nombre es ".$nombre; // Mi nombre es José
?>

require() incluye y evalúa el archivo especificado, el funcionamiento de esta función es exactamente igual a include(), salvo por el manejo de errores.
Mientras include(), al no encontrar el archivo a incluir, produce un Warning (Advertencia); require() produce un Fatal Error (Error Fatal).

Visita la entrada sobre include(), para ver ejemplos.